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直線の方程式、2直線の関係

この問題がわかりません。どなたか説明お願いします、、、!解答を読んでもよく分かりませんでした、、、

(答えはm=3-2√5/11です)

投稿日時 - 2018-10-14 10:18:18

QNo.9547457

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回答(6)

ANo.6

No.5に添付した画像のサイズがおかしかったので、あらためて添付します。

投稿日時 - 2018-10-16 20:42:36

ANo.5

No.1&3です。正攻法で三角形の面積を計算する場合、三角形BQRが直角三角形であり、下の図で薄赤色の三角形2つも直角三角形であることに気づけば計算が簡単になります。

Q(m+1/1-m.m+1/1-m)、R(3-m/m+1,5m+1/m+1)だから
BQ=√2BH=√2(2-(m+1)/(1-m))=√2(1-3m)/(1-m)
BR=√2BH'=√2(2-(5m+1/(m+1))=√2(1-3m)/(m+1)

△BQR=BQ・BR/2=(1-3m)^2/(m+1)(1-m)=△ABC/2=2
(1-3m)^2/(m+1)(1-m)=2 これを整理すると11m^2-6m-1=0 以下同じ…。

マルチメディアファイルは削除されたか見つかりません。

投稿日時 - 2018-10-16 20:32:12

ANo.4

点 O と点 B を通る直線は、
 y = x
これと直線 L :y = mx+m+1 との交点 P の x 座標値 p は、
 p = (1+m)/(1-m)  …(1)
点 P から x 軸へ下ろした垂線の足を P’とする。

点 A と点 B を通る直線は、
 y = -x+4
これと直線 L :y = mx+m+1 との交点 Q の x 座標値 q は、
 q = (3-m)/(1+m)  …(2)
点 Q から x 軸へ下ろした垂線の足を Q’とする。

各部分の面積。
 ⊿OPP’= p^2/2
 台形 PP'QQ' = (4-q+p)(q-p)/2
 ⊿QQ'A = (4-q)^2/2
--------------------
 三者合計 = pq - 2(p+q) + 8

これに (1), (2) を代入して、
 三者合計 = (1+m)(3-m)/(1-m^2) + 2*{ (1+m)/(1-m) + (3-m)/(1+m) } + 8
題意は、この値が 2 だという。

長々の途中をはしょった結果の、二次方程式。
 11m^2 - 6m -1 = 0

>答えは m=( 3 - 2√5 )/11
  

投稿日時 - 2018-10-14 19:57:17

ANo.3

No.1です。誤記の訂正と補足です。まずは訂正です。

誤:ここでAとOBの中点M(2,2)を結ぶ線分は明らかに三角形ABOの面積を2等分します。
正:ここでAとOBの中点M(1,1)を結ぶ線分は明らかに三角形ABOの面積を2等分します。

次に三角形ABOの面積を2等分する直線lと三角形ABOとの点Pから遠い方の交点Rが辺AB上にあることは自明ではなく、確認が必要です。これはRが三角形の頂点Aと一致したとき、PRを通る直線の式が
y=(-1/5)x+4/5、Q(2/3,2/3)となるので、三角形BRQ>三角形ABO/2 となることから示せます。

投稿日時 - 2018-10-14 15:19:52

ANo.2

OAの式:y = x, ABの式:y = -x + 4, △OAB = 4 * 2 / 2 = 4
mのあたりをつける。
m = 1とするとy = x + 2, △OABと交わらないのでダメ
m = -1とするとy =-x, △OABとOでしか交わらないのでダメ
m = 0とするとy = 1, △OABの面積を2等分できないのでダメ
m = 1/2とするとy = x/2 + 3/2, △OABとBでしか交わらないのでダメ
m = -1/2とするとy = -x/2 + 1/2, なんかそれらしい
というわけで、どうやら-1/2 < m < 0らしい

y = mx + m + 1とOBとの交点をC, ABとの交点をDとする。
Cの座標
mx + m + 1 = xより(m - 1)x = -m - 1, m ≠ 1だからx = (-m - 1)/(m - 1) = y
C((-m - 1)/(m - 1), (-m - 1)/(m - 1))
Dの座標
mx + m + 1 = -x + 4より(m + 1)x = -m + 3, m ≠ -1だからx = (-m + 3)/(m + 1)
y = (m - 3 + 4m + 4)/(m + 1) = (5m + 1)/(m + 1)
D((-m + 3)/(m + 1), (5m + 1)/(m + 1))
△BCD = 2になればよいが、今のままでは求めづらいので、Bが原点に来るように全体を
x方向に-2, y方向に-2だけ平行移動する。
B'(0, 0)
C'((-3m + 1)/(m - 1), (-3m + 1)/(m - 1))
D'((-3m + 1)/(m + 1), (3m - 1)/(m + 1))
△B'C'D' = △BCD = 2
原点を含む三角形の面積を求める公式により、
△B'C'D' = |(-3m + 1)(3m - 1)/(m - 1)(m + 1) - (-3m + 1)^2/(m - 1)(m + 1)| / 2 = 2
|(-3m + 1)(3m - 1)/(m - 1)(m + 1) - (-3m + 1)^2/(m - 1)(m + 1)| = 4
左辺の分子 = -(3m - 1)^2 - (-3m + 1)^2 = -2(3m - 1)^2
左辺の分母 = m^2 - 1
|-2(3m - 1)^2 / (m^2 - 1)| = 4, |-(3m - 1)^2 / (m^2 - 1)| = 2
絶対値をはずすとき、-(3m - 1)^2 / (m^2 - 1) = 1としてよさそうだ。
-9m^2 + 6m + 1 = 2m^2 - 2, 11m^2 - 6m - 1 = 0
m = (3 ± √(9 + 11)) / 11 = (3 ± 2√5) / 11
m < 0より、m = (3 - 2√5) / 11
論理が破綻しているところがあると思いますが、ご容赦ください。

投稿日時 - 2018-10-14 13:02:04

ANo.1

この問題は順を追って計算すれば解けますが、計算法を工夫した方が効率的でしょう。以下略解です。

問題は下の図のようになり、直線lはy-1=m(x+1)と変形できますので、点P(-1,1)を通り傾きがmの直線です。この直線と三角形の辺AB、BOとの交点をそれぞれ、R、Qとします。

ABは直線y=-x+4上に、BOは直線y=x上にあるので、lの式と連立させて解くと、
Q(m+1/1-m.m+1/1-m)、R(3-m/m+1,5m+1/m+1)となります。

ここでAとOBの中点M(2,2)を結ぶ線分は明らかに三角形ABOの面積を2等分します。RQが三角形ABOの面積を2等分するには、下の図でQAとMRが平行でなければなりません。

QAの傾きは(m+1)/(5m-3)、MRの傾きは2m/(1-m)だから、(m+1)/(5m-3)=2m/(1-m)これを整理すれば、11m^2-6m-1=0でこれを解けば、m=(3±2√5)/11
このうち題意を満たすのはm=(3-2√5)/11 だけです。

投稿日時 - 2018-10-14 12:27:53

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